Отец — Буйнов Николай Александрович (1911), из семьи «раскулаченного» кузнеца Александра Буйнова, владельца единственной в те годы в городе Ефремове Тульской области кузницы, был лётчиком и мастером по нескольким видам спорта. Мать — Буйнова Клавдия Михайловна (1912) (в девичестве Косова), была музыкантом, училась в консерватории по классу фортепиано и окончила её с отличием. Кроме Александра, в семье было ещё трое братьев. Все получили начальное музыкальное образование.