Александр родился в семье Юрия Львовича Домогарова (окончил ГИТИС, был тяжело ранен в 1942 на войне) и Натальи Петровны Домогаровой. У него есть брат Андрей.
Окончил Московское театральное училище им. Щепкина (1984, мастерская В. Коршунова).
Старший сын Александра Дмитрий погиб в ДТП 7 июня 2008 года.
Работал в Малом театре, в Театре Советской армии (ныне — Театр Российской армии).
Полное имя — Домогаров Александр Юрьевич.