Прах Годунова был развеян над Тихим океаном, его мемориал находится в Лос-Анджелесе. Эпитафия на могиле гласит: «His future remained in the past» (Его будущее осталось в прошлом).
Александр Годунов скоропостижно скончался 18 мая 1995 года в своём доме в Западном Голливуде, врачи не обнаружили ни следов насилия, ни травм, ни признаков алкоголя или наркотиков в крови.
В 1958 Годунов поступил в Рижское хореографическое училище, которое окончил в 1967; в 1967—1971 годах танцевал в Государственном хореографическом ансамбле «Классический балет».
Годунов был принят в труппу Театра Американского Балета, где выступал как ведущий танцор до 1982, откуда ушёл из-за ссоры со своим другом и руководителем труппы Михаилом Барышниковым; некоторое время выступал с собственной труппой. Затем он ушёл из балета и начал кинокарьеру, долгое время поддерживал близкие отношения с киноактрисой Жаклин Биссет (до 1988).
Полное имя — Александр Борисович Годунов.