В 1989 году Збруеву присвоено звание народного артиста России. В 2003 году стал лауреатом Государственной премии РФ.
Свою родословную Александр Збруев ведет со времен Петра I. Его бабушка по линии матери была баронессой, мама — столбовой дворянкой. Отца своего он живым не застал. Тот работал заместителем наркома связи СССР и был расстрелян в 1937 году.
У актера есть внебрачная дочь Татьяна от актрисы Елены Шаниной.