Борис Чирков приходился племянником В. М. Молотову.
Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище (участок № 10).
Дочь — актриса Чиркова Людмила Борисовна. Внук — оператор Максим Чирков.
В 1926 году окончил Ленинградский институт сценического искусства. В 1926—1930 годах — актёр Ленинградского ТЮЗа, выступал также в мюзик-холле, затем — актёр Ленинградского Красного театра, Нового ТЮЗа, в 1945—1950 годах — актёр Театра-студии киноактёра, в 1950—1965 годах — МДТ имени А. С. Пушкина, с 1966 года — МДТ имени Н. В. Гоголя. В 1955—1963 — педагог ВГИКа.
Народный артист СССР. Заслуженный артист РСФСР.