В 19 лет начал изучать живопись и скульптуру в Калифорнийском Институте Искусств, но за год до окончания уехал в Берлин, где жил со своими друзьями-художниками и снимал любительские фильмы.
В 14 лет Генри брал уроки актёрского мастерства в Институте театра и кино Ли Страсберга в Лос-Анджелесе.
Генри — сын Денниса Хоппера и актрисы Кэтрин ЛаНаса.
Родители Генри развелись, когда ему было два года.