Окончил Азербайджанскую консерваторию по классу пения Шовкет Мамедовой (1968).
Родители Муслима — Магомет Магомаев, театральный художник, погиб на фронте за два дня до Победы, и Айшет Магомаева (сценический псевдоним — Кинжалова), драматическая актриса, сталинская стипендиатка. Его дед — Муслим Магомаев, известный азербайджанский композитор, чьё имя носит Азербайджанская филармония, родился в городе Грозном.