В 2015 году Паркер окончил общественную среднюю школу Hinsdale Central High School в Хинсдейле (пригород Чикаго, Иллинойс), он играет на фортепиано и барабанах, профессионально занимался теннисом, выступал на юниорских турнирах Ассоциации тенниса Соединенных Штатов (USTA).
Полное имя — Паркер Мак Клебеноу.
Паркер родился в семье Кристен Мак Клебеноу и Линдсэй Клебеноу, мама — актриса и сценарист, отец — вице-президент по маркетингу американской компании «Elkay Manufacturing», у него есть две родные старшие сестры: актриса Келли Мак и Кэтрин, в своей родословной имеет немецкие, русские, финские и шотландские корни.
Паркер начал актерскую карьеру с шести лет, снимаясь в различной рекламе.